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前節で、楽器やヒトの声の振動数の倍音構造を実測し、強度が大きい倍音が多数あるにもかかわらず最も振動数が低い「基音」が「音の高さ」を決めるという一見して不思議な事実を考察した。この節では、コンピューターソフトウェアを用いて、倍音構造にあたる振動数の純音を組み合わせて合成した音について音高を測定した。音高を決めるとされる「基音」を含まないミッシングファンダメンタルの音、さらに基音だけでなく低振動数の倍音を削除した合成音についても音高を検討し、脳がどのように音高を知覚するかを探ろうと試みた。このような試みは私の知る限りこれが最初であるようだ。
                                             2021.3.20  森谷東平

 

1)合成音とメロディの作成および音高の測定

(A) 振動数発生
ソフトウェア:ToneGenerator (NCH社)
目的とする音について、複数の振動数と演奏する長さをいれる。各振動数の強度は同一とした。WavePadを起動させるFig.1 ToneGeneratorによる音の作成
  

(B) 音声ファイルの作成
ソフトウェア:WavePad (NCH社)
ToneGeneratorで作成した音を、ファイル形式.wav(または.mov3)で 保存する。Fig.2 WavePadによる音声ファイルの作成

  
(C)メロディの作成、wav形式で保存
ソフトウェア:Camtasia2(TechSmith社)
(B)で作成した音声ファイル(wav形式)を並べてメロディーとする。結果はやはりwav形式で保存する。Fig.3 Camtasia2によるメロディーの作成
(D) 音高の測定 スマートフォンのアプリである Pitch Analyzer (Supertintin Co.)をiPhone 11で使用した。測定時間は3〜5秒で表示値が安定したものを記録した。
      
 

2)「倍音構造」が異なる合成音の比較      


(各振動数は同じ強度である)
(a) 131Hzの基音C3「ド」と倍音からなる複合音
 
f1
131
f2
262
f3
393
f4
524
f5
655
f6
786
f7
917
f8
1048
Wave pattern   Pitch
Analyzer [Hz]
D0-1               C3
131
D0-2             C3
131
D0-3           C3
131
D0-4         C3
131
D0-5       C3
131
D0-6     C3
131
D0-7   C3
131
D0-8 C3
132
基音と複合音は音色が異なるが、耳で聞いても同じ高さであると聞こえる。Pitch Analyzerは、基音だけの音から、基音と2〜8倍音を含む音まで どれもC3の音高を示している。
基音に比較して倍音が多い音ほど豊かな雰囲気に聞こえる。 波形はどれも基音と同一の周期である。
(b) 131Hzの基音C3「ド」と奇数倍音からなる複合音
 
f1
131
f3
393
f5
655
f7
917
f9
1179
f11
1441
f13
1703
f15
1965
Wave pattern   Pitch
Analyzer
[Hz]
D0-
1
              C3
131
D0-
odd3
            C3
131
D0-
odd5
          C3
131
D0-
odd7
        C3
131
D0-
odd9
      C3
131
D0-
odd11
    C3
131
D0-
odd13
  C3
131
D0-
odd15
C3
131
耳で聞くと、3倍音と5倍音を含む複合音はC3=131Hzより高く感じる。
Pitch Analyzerは、基音だけの音から、基音と奇数倍音7個を含む音まで どれも C3の音高を示している。波形はどれも基音と同一の周期である。


(c) 131Hzの基音C3「ド」と7個の倍音からなる複合音、および
それから低周波数の倍音を除いた音(ミッシングファンダメンタル
 
f1
131
f2
262
f3
393
f4
524
f5
655
f6
786
f7
917
f8
1048
f9
1179
f10
1310
f11
1441
Wave pattern   Pitch
Analyzer
[Hz]
D0-8       C3
131
D0-8
mf1
        C3
131
D0-8
mf2
          C3
131
D0-8
mf3
            C3
131
D0-8
mf4
              C3
131
D0-8
mf5
                C3
131
D0-8
mf6
                  A#5
916
D0-8
mf7
                    C6
1046
D0-9
mf6
                C3
131
D0-11
mf7
              C3
131
・耳で聞くと低周波数の倍音が無いほど高い音に聞こえる。
・Pitch Analyzerは、基音を含まずと7〜3個の倍音を含む音はどれも C3の音高を
示している。
・7倍音+8倍音だけの音(Do-8mf6)は周期はC3を示さない。7倍音+8倍音+9倍音の音(Do-9mf6)あるいは8倍音+9倍音+10倍音+11倍音の音(Do-11mf7)はC3の音高である。高い周波数の倍音シリーズでも3、4個が揃えば基音の音高を示すようだ。
(d) 131Hzの基音C3「ド」と7個の奇数倍音からなる複合音、および それから低周波数の倍音を除いた音(ミッシングファンダメンタル
 
f1
131
f3
393
f5
655
f7
917
f9
1179
f11
1441
f13
1703
f15
1965
f17
2227
f19
2489
f23
2751
f25
3013
Wave pattern   Pitch
Analyzer
[Hz}
D0-
odd15
        C3
131
D0-
odd15
mf1
          C3
131
D0-
odd15
mf3
            C3
131
D0-
odd15
mf5
              C3
131
D0-
odd15
mf7
                G4
393 
D0-
odd15
mf9
                 

C#4
288 

D0-
odd15
mf11
                    C#4 283 
D0-
odd15
mf13
                      B6
1967
D0-
odd17
mf7
              B3
244
D0-
odd19
mf7
            B3
243
D0-
odd23
mf9
            B3
244
D0-
odd25
mf9
          B3
244

・耳で聞くと低周波数の倍音が無いほど高い音に聞こえる。
・Pitch Analyzerは、基音と7〜5個の奇数倍音を含む音はどれも C3の音高を 示している。
・ しかし、基音から7倍音が欠けた音では、9倍音以上の奇数倍音が6個を含む音(D0-odd19mf7)でもC3の音高を示さない 。
・この音(D0-odd19mf7)の波形の周期は基音と同一であり、周期が同一でも音高が等しいとは限らないことを示している。

 

3)「倍音構造」が異なる音によるメロディ(きらきら星)の比較

  
    (1) 純音のみからなる音
             Fundamental
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-1 Sol-1 La-1 Sol-1 Fa-1 Mi-1 Re-1 D0-1
C3
131
G3
196

A3
220

G3
196
F3
175
E3
165
D3
147
C3
131
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
こもったような印象の音である。
    (2) 基音+3個の倍音からなる音
               4 Harmonics
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-4 Sol-4 La-4 Sol-4 Fa-4 Mi-4 Re-4 D0-4
C3
131
G3
196

A3
220

G3
196
F3
175
E3
165
D3
147
C3
131
262 392 440 392 350 330 294 262
393 588 660 588 525 495 441 393
524 784 880 784 700 660 588 524
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
- - - - - - - -
音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。純音だけの音に比較して音に広がりを感じる。
    (3) 基音+7個の倍音からなる音
                   8 Harmonics
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-8 Sol-8 La-8 Sol-8 Fa-8 Mi-8 Re-8 D0-8
C3
131
G3
196

A3
220

G3
196
F3
175
E3
165
D3
147
C3
131
262 392 440 392 350 330 294 262
393 588 660 588 525 495 441 393
524 784 880 784 700 660 588 524
655 980 1100 980 875 825 735 655
786 1176 1320 1176 1050 990 882 786
917 1372 1540 1372 1225 1155 1029 917
1048 1586 1760 1586 1400 1320 1176 1048
音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。
  
   (4) 基音+4個の奇数倍音からなる音
              5 Odd Harmonics
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-
odd9
Sol-
odd9
La-
odd9
Sol-
odd9
Fa-
odd9
Mi-
odd9
Re-
odd9
D0-
odd9
C3
131
G3
196

A3
220

G3
196
F3
175
E3
165
D3
147
C3
131
- - - - - - - -
393 588 660 588 525 495 441 393
- - - - - - - -
655 980 1100 980 875 825 735 655
- - - - - - - -
917 1372 1540 1372 1225 1155 1029 917
- - - - - - - -
1179 1764 1980 1764 1575 1485 1323 1179
音色に明瞭さを感じる。 音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。
  (5) 基音を欠いた7個の倍音からなる音(ミッシングファンダメンタル)  Missing Fundamental /7Harmonics                   
do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-8
mf1
Sol-8
mf1
La-8
mf1
Sol-8
mf1
Fa-8
mf1
Mi-8
mf1
Re-8
mf1
D0-8
mf1
C3
131
miss
G3
196
miss
A3
220
miss
G3
196
miss
F3
175
miss
E3
165
miss
D3
147
miss
C3
131
miss
262 392 440 392 350 330 294 262
393 588 660 588 525 495 441 393
524 784 880 784 700 660 588 524
655 980 1100 980 875 825 735 655
786 1176 1320 1176 1050 990 882 786
917 1372 1540 1372 1225 1155 1029 917
1048 1586 1760 1586 1400 1320 1176 1048
音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。

(6) 基音~3倍音を欠いた5個の倍音からなる音 (ミッシングファンダメンタル+αMissing 3 Harmonics /5Harmonics                   

do do
sol sol
la la
sol
fa fa
mi mi
re re
do
D0-8
mf3
Sol-8
mf3
La-8
mf3
Sol-8
mf3
Fa-8
mf3
Mi-8
mf1
Re-8
mf3
D0-8
mf3
C3
131
miss
G3
196
miss
A3
220
miss
G3
196
miss
F3
175
miss
E3
165
miss
D3
147
miss
C3
131
miss
262
miss
392
miss
440
miss
392
miss
350
miss
330
miss
294
miss
262
miss
393
miss
588
miss
660
miss
588
miss
525
miss
495
miss
441
miss
393
miss
524 784 880 784 700 660 588 524
655 980 1100 980 875 825 735 655
786 1176 1320 1176 1050 990 882 786
917 1372 1540 1372 1225 1155 1029 917
1048 1586 1760 1586 1400 1320 1176 1048
音色の違いだけで純音と同じ高さに聞こえる。
 

3)「倍音構造」の音とミッシングファンダメンタルの音を交互に替えたメロディ(きらきら星)による音高の比較

 (11) 8個の音 と1〜3倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
    8 Harmonics + 5 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-8 D0-8
mf3
Sol-8 Sol-8
mf3
La-8 La-8
mf3
Sol-8 Fa-8 Fa-8
mf3
Mi-8 Mi-8
mf3
Re-8 Re-8
mf3
D0-8
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
f2 - f2 - f2 - f2 f2 - f2 - f2 - f2
f3 - f3 - f3 - f3 f3 - f3 - f3 - f3
f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f4
f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5 f5
f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6
f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7
f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8
8倍音までを含む複合音と3個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル+αが同じ音高であることがより確かに感じられる。
 (12) 8個の音 と1〜5倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
     8 Harmonics + 3 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-8 D0-8
mf5
Sol-8 Sol-8
mf5
La-8 La-8
mf5
Sol-8 Fa-8 Fa-8
mf5
Mi-8 Mi-8
mf5
Re-8 Re-8
mf5
D0-8
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
f2 - f2 - f2 - f2 f2 - f2 - f2 - f2
f3 - f3 - f3 - f3 f3 - f3 - f3 - f3
f4 - f4 - f4 - f4 f4 - f4 - f4 - f4
f5 - f5 - f5 - f5 f5 - f5 - f5 - f5
f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6 f6
f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7
f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8
8倍音までを含む複合音と比べ5個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル+αは同じ音高であると感じられる。
 (13) 8個の音 と1〜6倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
     8 Harmonics + 2 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-8 D0-8
mf6
Sol-8 Sol-8
mf6
La-8 La-8
mf6
Sol-8 Fa-8 Fa-8
mf6
Mi-8 Mi-8
mf6
Re-8 Re-8
mf6
D0-8
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
f2 - f2 - f2 - f2 f2 - f2 - f2 - f2
f3 - f3 - f3 - f3 f3 - f3 - f3 - f3
f4 - f4 - f4 - f4 f4 - f4 - f4 - f4
f5 - f5 - f5 - f5 f5 - f5 - f5 - f5
f6 - f6 - f6 - f6 f6 - f6 - f6 - f6
f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7 f7
f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8
8倍音までを含む複合音と比べ6個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル+αは高い音に聞こえる。
 (14) 8個の音 と1〜7倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
     8 Harmonics + 1 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-8 D0-8
mf7
Sol-8 Sol-8
mf7
La-8 La-8
mf7
Sol-8 Fa-8 Fa-8
mf7
Mi-8 Mi-8
mf7
Re-8 Re-8
mf7
D0-8
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
f2 - f2 - f2 - f2 f2 - f2 - f2 - f2
f3 - f3 - f3 - f3 f3 - f3 - f3 - f3
f4 - f4 - f4 - f4 f4 - f4 - f4 - f4
f5 - f5 - f5 - f5 f5 - f5 - f5 - f5
f6 - f6 - f6 - f6 f6 - f6 - f6 - f6
f7 - f7 - f7 - f7 f7 - f7 - f7 - f7
f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8 f8
8倍音までを含む複合音と比べ8倍音だけの音は明らかに高い音に聞こえる。
 (15) 基音 と1〜3倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
    Fundamental  + 5 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-1 D0-8
mf3
Sol-1 Sol-8
mf3
La-1 La-8
mf3
Sol-1 Fa-1 Fa-8
mf3
Mi-1 Mi-8
mf3
Re-1 Re-8
mf3
D0-1
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- f4 - f4 - f4 - - f4 - f4 - f4 -
- f5 - f5 - f5 - - f5 - f5 - f5 -
- f6 - f6 - f6 - - f6   `f6 - f6 -
- f7 - f7 - f7 - - f7   f7 - f7 -
- f8 - f8 - f8 - - f8   f8 - f8 -
基音の各音と比べ3個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル+αは同じ音高であるように聞こえる。
 (16) 基音 と1〜5倍音を欠いたミッシングファンダメンタルの音を交互に
    Fundamental +  3 Upper Partials
do
do
sol
sol
la
la
sol
fa
fa
mi
mi
re
re
do
D0-1 D0-8
mf5
Sol-1 Sol-8
mf5
La-1 La-8
mf5
Sol-1 Fa-1 Fa-8
mf5
Mi-1 Mi-8
mf5
Re-1 Re-8
mf5
D0-1
f1 - f1 - f1 - f1 f1 - f1 - f1 - f1
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
- f6 - f6 - f6 - - f6 - `f6 - f6 -
- f7 - f7 - f7 - - f7 - f7 - f7 -
- f8 - f8 - f8 - - f8 - f8 - f8 -
基音の各音と比べ5個の倍音を欠いたミッシングファンダメンタル+αは同じ音高であるように聞こえる?。

4)まとめ

1.C3(ド)の純音(131Hz)を例として、その周波数の整数倍の純音(倍音)を組み合わせた複合音はどれもC3(基音)に対応する音高であることが音高検知器Pitch Analyzerにより示された。
2.同様に、奇数倍の純音(倍音)を組み合わせた複合音はどれもC3(基音)に対応する音高である。
3.同様に、1〜8倍音を含む複合音から基音の純音(131Hz)を除いたミッシングファンダメンタルの音もC3(基音)に対応する音高である。1〜15倍音の奇数倍音を含む複合音から基音の純音(131Hz)を除いた音も同様である。
4.基音に加えて低振動数の倍音を除いた音(ミッシングファンダメンタル+α)でもC3(基音)に対応する音高を示す例がある。ただし、高振動数の倍音の組み合わせただけでは基音の音高を示さない例も多い。
5.倍音を含む複合音が基音の音高を示す理由として、複合音の波形の周期が基音の周期と一致することが主たる要因と考えられる。ただし、高振動数の倍音の組み合わせた音ではその関係が成立していない例も多い。
6.いろいろな複合音を用いたメロディーの結果から、C3以外の音についても、以上と同様なことが成立していると考えられる。

音の高さとは
楽器の音やヒトの声は、通常基音と整数倍音の複合音であり、その高さpitchは基音で決まり、倍音の構造がその音色timbreを決める。複合音の音高を基音が決めるメカニズムの主要な要素として、複合音が基音の周期と一致することがあげられる。